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負の解もあるけど、めんどうなので正の解のみ考える
`x^2 = S`
両辺を `x!=0` で割ると
`x = S/x`
`x < sqrt(S)` のとき `S/x > x`
`x = sqrt(S)` のとき `S/x = x`
`x > sqrt(S)` のとき `S/x < x`
`x!=sqrt(S)` のとき `sqrt(S)` は `x`と`S/x`の間のどこかに存在する
`sqrt(2)` の例
`1.4 < sqrt(2)` のとき `2/1.4 = 1.428cdots > 1.4`
`1.414cdots = sqrt(2)` のとき `2/1.414cdots = 1.414cdots`
`1.5 > sqrt(2)` のとき `2/1.5 = 1.333cdots < 1.5`
中間分数(Mediant)
`b/a < (b+d)/(a+c) < d/c`
相加平均(算術平均)
`b/a < 1/2**(b/a + d/c) < d/c`
`b/a < (ad+bc)/(2ac) < d/c`
`sqrt(9)` の近似値を求める (真値は 3 と -3)
| `x` | `9/x` | `3-x` | `3-9/x` | `1/3*x` | `1/3*9/x` |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9 | 2 | -6 | `1/3` | 3 |
| 2 | 4.5 | 1 | -1.5 | `2/3` | `3/2` |
| 3 | 3 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 2.25 | -1 | 0.75 | `4/3` | `3/4` |
| 5 | 1.8 | -2 | 1.2 | `5/3` | `3/5` |
初期値を 2 とする
`2 < sqrt(9) < 9/2`
中間分数(Mediant)
`9/2 と 2/1` の中間分数
`(9+2)/(2+1) = 11/3`
`9*(3/11) = 27/11`
`27/11 < sqrt(9) < 11/3`
`81/33 < 99/33 < 121/33`
`81/33 と 121/33` の中間分数
`(81+121)/(33+33) = 101/33`
`9*(33/101) = 297/101`
`297/101 < sqrt(9) < 101/33`
`9801/3333 < 9999/3333 < 10201/3333`
`9801/3333 と 10201/3333` の中間分数
`(9801+10201)/(3333+3333) = 10001/3333`
`9*(3333/10001) = 29997/10001`
`29997/10001 < sqrt(9) < 10001/3333`
`99980001/33333333 < 99999999/33333333 < 100020001/33333333`
| `x` | `9/x` | `3-x` | `3-9/x` | `1/3*x` | `1/3*9/x` |
|---|---|---|---|---|---|
| `121/33` | `81/33` | -0.6666… | 0.5454… | `121/99` | `81/99` |
| `10201/3333` | `9801/3333` | -0.060606… | 0.059405… | `10201/9999` | `9801/9999` |
| `100020001/33333333` | `99980001/33333333` | -0.00060006… | 0.00059994… | `100020001/99999999` | `99980001/99999999` |
相加平均(算術平均)
`9/2 と 2/1` の相加平均
`(2*2+9*1)/(2*2*1) = 13/4`
`9*(4/13) = 36/13`
`36/13 < sqrt(9) < 13/4`
`36/13 と 13/4` の相加平均
`(13*13+36*4)/(2*13*4) = 313/104`
`9*(104/313) = 936/313`
`936/313 < sqrt(9) < 313/104`
`936/313 と 313/104` の相加平均
`(313*313+936*104)/(2*313*104) = 195313/65104`
`9*(65104/195313) = 585936/195313`
`585936/195313 < sqrt(9) < 195313/65104`
| `x` | `9/x` | `3-x` | `3-9/x` | `1/3*x` | `1/3*9/x` |
|---|---|---|---|---|---|
| `13/4` | `36/13` | -0.25 | 0.23076… | `13/12` | `36/39` |
| `313/104` | `936/313` | -0.009615… | 0.009584… | `313/312` | `936/939` |
| `195313/65104` | `585936/195313` | -0.000015360039 | 0.000015359960 | `195313/195312` | `585936/585939` |
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