数学をわかりやすくするblog

`1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9` … (式1)

を計算する

必要な知識

• 部分分数分解
• 循環小数

1.有限小数・混合循環小数・純循環小数に分類する

`sum_(n=2)^9 1/n=(1/2+1/4+1/5+1/8)+(1/6)+(1/3+1/7+1/9)`

2.混合循環小数を、有限小数と純循環小数に分離する(部分分数分解)

`1/6 = 1/(2*3)`

`a/2 + b/3 = (3a+2b)/(2*3)`とおくと

式の分子 `3a+2b=1` が成り立つ a と b は

(式1)にある`1/3`を打ち消すために`b=-1`とすると`a=1`となる

`1/6 = 1/2 - 1/3`

`sum_(n=2)^9 1/n=(1/2+1/4+1/5+1/8)+(1/2-1/3)+(1/3+1/7+1/9)`

`=1+(1/4+1/5+1/8)+(1/7+1/9)`

3.有限小数を計算する

`sum_(n=2)^9 1/n = 1+(250/1000+200/1000+125/1000)+(1/7+1/9)`

`=1+(575/1000)+(1/7+1/9)`

4.純循環小数を計算し、小数に変換する

`sum_(n=2)^9 1/n =1+(575/1000)+(142857/999999+111111/999999)`

`=1+(575/1000)+(253968/999999)`

`=1.575+0.(253968)`

`=1.828(968253)`

5.確認する

`1.8 < sum_(n=2)^9 1/n = 1.828(968253) < 1.9`