数学をわかりやすくするblog

使用する知識

• 素数
• 指数
• 分数
• 有限小数
• 純循環小数
• 混合循環小数
• 十進数

面白げな知識

• Midyの定理 (Midy's theorem)
• 巡回数 (Cyclic Number)

既約分数→(割り算を筆算で解く)→小数

既約分数→(素因数分解)→分子分母が素因数の分数→(倍分)→小数みたいな分数→小数

小数→小数みたいな分数→(素因数分解)→分子分母が素因数の分数→(約分)→既約分数

既約分数は小数に戻しづらい

十進数なので 100 とか 999 などをよく使う

ここでは循環小数を　`0.0131313cdots=0.0(13)`　と書くとする

有限小数

`0.12=12/100=(2^2*3)/(2^2*5^2)=3/25`

純循環小数

`d=0.121212cdots`　とすると100倍は

`100d=12.1212cdots`　これから上式を引くと

`(100-1)d=12`

`d=12/99`

`0.(12)=12/99=(2^2*3)/(3^2*11)=4/33`

混合循環小数

`d=0.0121212cdots`　とすると10倍は

`10d=0.121212cdots`　これの100倍は

`1000d=12.1212cdots`　これから上式を引くと

`(1000-10)d=12`

`d=12/990`

`0.0(12)=12/(99*10)=(2^2*3)/(3^2*11*2*5)=2/165`

`1/2=5/(2*5)=5/10=0.5`

`1/3=3/(3^2)=3/9=0.(3)`

`1/4=(5^2)/(2^2*5^2)=25/100=0.25`

`1/5=2/(2*5)=2/10=0.2`

`1/6=(3*5)/(3^2*2*5)=15/(9*10)=1/10+6/(9*10)=0.1(6)`

`1/7=(3^3*11*13*37)/(3^3*7*11*13*37)=142857/999999=0.(142857)`

`1/8=(5^3)/(2^3*5^3)=125/1000=0.125`

`1/9=1/3^2=1/9=0.(1)`

`0.1=1/10=9/(9*10)=0.0(9)`

`1/11=(3^2)/(3^2*11)=9/99=0.(09)`

`1/12=(3*5^2)/(3^2*2^2*5^2)=75/(9*100)=8/100+3/(9*100)=0.08(3)`

`1/13=(3^3*7*11*37)/(3^3*7*11*13*37)=76923/999999=0.(076923)`

`1/14=(5*3^3*11*13*37)/(2*5*3^3*7*11*13*37)=714285/(999999*10)=0.0(714285)`

`1/49=(3^3*11*13*37*43*127*239*1933*2689*4649*459691*909091*10838689)/(3^3*7^2*11*13*37*43*127*239*1933*2689*4649*459691*909091*10838689)`

`1/49=(20408163265306122448979591836734693877551)/(999999999999999999999999999999999999999999)`

`1/49=0.(020408163265306122448979591836734693877551)`

`1/256=(5^8)/(2^8*5^8)=390625/100000000=0.00390625`

`10^1-1=3^2`

`10^2-1=3^2*11`

`10^3-1=3^3*37`

`10^4-1=3^2*11*101`

`10^5-1=3^2*41*271`

`10^6-1=3^3*7*11*13*37`

`10^7-1=3^2*239*4649`

`10^8-1=3^2*11*73*101*137`

`10^9-1=3^4*37*333667`

`10^10-1=3^2*11*41*271*9091`

`10^42-1=3^3*7^2*11*13*37*43*127*239*1933*2689*4649*459691*909091*10838689`